Analyse Numérique 2


 

Pré-requis :

–        Une bonne connaissance de l’analyse des fonctions d’une variable réelle et des bases du calcul matriciel.

 

 

Objectifs :

Ce cours constitue une introduction au calcul Scientifique.  Son objectif est de :

–        présenter des méthodes numériques de base permettant de résoudre avec un ordinateur des problèmes concrets issus de l’ingénierie.

–        Identifier les difficultés liées à la résolution numérique sur ordinateur d’un problème réel.

–        Savoir développer et mettre en œuvre les méthodes de discrétisation des problèmes continus.

–        Maîtriser et savoir  mettre en œuvre les techniques de base de l’analyse numérique matricielle.

–        Savoir mettre en œuvre les techniques de base du calcul numérique.

 

Contenu de l’enseignement :

 

Chap. 1  Interpolation et approximation polynomiale  (Cours : 09h00, TD : 06h00)               

1.1.   Interpolation de Lagrange : existence et unicité du polynôme de Lagrange, Calcul du polynôme de Lagrange, estimation de l’erreur d’approximation.

1.2.   Interpolation de Newton : table des différences Divisées, Polynôme de Newton, estimation de l’erreur d’approximation.

1.3.   Interpolation de Hermite : existence et unicité du polynôme d’interpolation de Hermite,  estimation de l’erreur d’approximation.

1.4.   Approximation au sens des moindres carrés : méthode classique des moindres carrés, polynômes orthogonaux, Polynômes trigonométriques, transformée de Fourier rapide.

1.5.   Fonctions splines.

 

Chap. 2  Dérivation et intégration numérique (Cours : 07h30, TD : 06h00)

2.1. Dérivation numérique : dérivée première, formules à deux points, formules à trois points, dérivées d’ordre supérieur, estimation de l’erreur de dérivation.

2.2. Intégration numérique : méthodes de quadrature élémentaires, formules de Newton-Cotes, formules de Gauss, estimation de l’erreur d’intégration.

 

Chap. 3  Equations différentielles du premier ordre (Cours : 07h30, TD : 04h30)                                                                 

3.1. Méthode d’Euler-Cauchy : estimation de l’erreur de discrétisation, influence des erreurs d’arrondis, méthode d’Euler implicite.

3.2. Méthodes de Runge-Kutta : méthode de Runge-Kutta d’ordre 2, Méthode de Runge-Kutta d’ordre 4.

3.3. Systèmes d’équations différentielles ordinaires du premier ordre.

3.4. Problèmes aux conditions aux limites : méthode des différences finies, exemple simple 1D avec conditions de Dirichlet, Neumann et mixtes.

 

Travaux Pratiques : (09h00)

–        Interpolation et approximation polynômiale

–        Dérivation et intégration numérique

–        Equations différentielles du premier ordre

 

Références bibliographiques :

[1]  Jean-Pierre Demailly, ANALYSE  NUMÉRIQUE  ET  ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, EDP Sciences (2006).

[2]  Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri, MÉTHODES NUMÉRIQUES : ALGORITHMES, ANALYSE ET APPLICATIONS, Springer-Verlag (2007).

[3]  Alfio Quarteroni, Fausto Saleri, Paola Gervasio, CALCUL SCIENTIFIQUE : COURS, EXERCICES CORRIGÉS ET ILLUSTRATIONS EN MATLAB ET OCTAVE, Springer-Verlag (2010).

[4] Won Young Yang, Wenwu Cao, Tae-Sang Chung, APPLIED NUMERICAL METHODS USING MATLAB, John Wiley end Sons (2005).

[5]  Jean-Louis Merrien, ANALYSE NUMÉRIQUE AVEC MATLAB, Dunod (2007).

[6]  André Fortin, ANALYSE NUMÉRIQUE POUR INGÉNIEURS, Presses internationales Polytechnique (2011).

[7] William Ford, NUMERICAL LINEAR ALGEBRA WITH APPLICATIONS USING MATLAB, Elsevier Inc (2015).

[8] Cleve B. Moler, NUMERICAL COMPUTING WITH MATLAB,  Siam (2004).

[9]  Grégoire Allaire,  Sidi Mahmoud Kaber, NUMERICAL LINEAR ALGEBRA, Springer (2008).

[10]  Luc Jolivet, Rabah Labbas, ANALYSE ET ANALYSE NUMÉRIQUE : RAPPEL DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS, Lavoisier (2005).

[11]  Jacques Rappaz, Marco Picasso, INTRODUCTION A L’ANALYSE NUMÉRIQUE, Presses polytechniques et universitaires romandes (2004).

[12] Nicholas J. Higham, ACCURACY AND STABILITY OF NUMERICAL ALGORITHMS, siam (1996).

[13]  John Hubbard, Florence Hubert, CALCUL SCIENTIFIQUE DE LA THÉORIE A LA PRATIQUE : ILLUSTRATIONS AVEC MAPLE ET MATLAB, Université de Provence, Marseille (2005).

 

Modalités d’évaluation :

Interrogation, Devoir surveillé, Travaux pratiques, Examen final