| Pré-requis :
– Une bonne connaissance de l’analyse des fonctions d’une variable réelle et des bases du calcul matriciel. |
| Objectifs :
Ce cours constitue une introduction au calcul Scientifique. Son objectif est de : – présenter des méthodes numériques de base permettant de résoudre avec un ordinateur des problèmes concrets issus de l’ingénierie. – Identifier les difficultés liées à la résolution numérique sur ordinateur d’un problème réel. – Savoir développer et mettre en œuvre les méthodes de discrétisation des problèmes continus. – Maîtriser et savoir mettre en œuvre les techniques de base de l’analyse numérique matricielle. – Savoir mettre en œuvre les techniques de base du calcul numérique. |
| Contenu de l’enseignement :
Chap. 1 Interpolation et approximation polynomiale (Cours : 09h00, TD : 06h00) 1.1. Interpolation de Lagrange : existence et unicité du polynôme de Lagrange, Calcul du polynôme de Lagrange, estimation de l’erreur d’approximation. 1.2. Interpolation de Newton : table des différences Divisées, Polynôme de Newton, estimation de l’erreur d’approximation. 1.3. Interpolation de Hermite : existence et unicité du polynôme d’interpolation de Hermite, estimation de l’erreur d’approximation. 1.4. Approximation au sens des moindres carrés : méthode classique des moindres carrés, polynômes orthogonaux, Polynômes trigonométriques, transformée de Fourier rapide. 1.5. Fonctions splines.
Chap. 2 Dérivation et intégration numérique (Cours : 07h30, TD : 06h00) 2.1. Dérivation numérique : dérivée première, formules à deux points, formules à trois points, dérivées d’ordre supérieur, estimation de l’erreur de dérivation. 2.2. Intégration numérique : méthodes de quadrature élémentaires, formules de Newton-Cotes, formules de Gauss, estimation de l’erreur d’intégration.
Chap. 3 Equations différentielles du premier ordre (Cours : 07h30, TD : 04h30) 3.1. Méthode d’Euler-Cauchy : estimation de l’erreur de discrétisation, influence des erreurs d’arrondis, méthode d’Euler implicite. 3.2. Méthodes de Runge-Kutta : méthode de Runge-Kutta d’ordre 2, Méthode de Runge-Kutta d’ordre 4. 3.3. Systèmes d’équations différentielles ordinaires du premier ordre. 3.4. Problèmes aux conditions aux limites : méthode des différences finies, exemple simple 1D avec conditions de Dirichlet, Neumann et mixtes. |
| Travaux Pratiques : (09h00)
– Interpolation et approximation polynômiale – Dérivation et intégration numérique – Equations différentielles du premier ordre |
| Références bibliographiques : [1] Jean-Pierre Demailly, ANALYSE NUMÉRIQUE ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, EDP Sciences (2006). [2] Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri, MÉTHODES NUMÉRIQUES : ALGORITHMES, ANALYSE ET APPLICATIONS, Springer-Verlag (2007). [3] Alfio Quarteroni, Fausto Saleri, Paola Gervasio, CALCUL SCIENTIFIQUE : COURS, EXERCICES CORRIGÉS ET ILLUSTRATIONS EN MATLAB ET OCTAVE, Springer-Verlag (2010). [4] Won Young Yang, Wenwu Cao, Tae-Sang Chung, APPLIED NUMERICAL METHODS USING MATLAB, John Wiley end Sons (2005). [5] Jean-Louis Merrien, ANALYSE NUMÉRIQUE AVEC MATLAB, Dunod (2007). [6] André Fortin, ANALYSE NUMÉRIQUE POUR INGÉNIEURS, Presses internationales Polytechnique (2011). [7] William Ford, NUMERICAL LINEAR ALGEBRA WITH APPLICATIONS USING MATLAB, Elsevier Inc (2015). [8] Cleve B. Moler, NUMERICAL COMPUTING WITH MATLAB, Siam (2004). [9] Grégoire Allaire, Sidi Mahmoud Kaber, NUMERICAL LINEAR ALGEBRA, Springer (2008). [10] Luc Jolivet, Rabah Labbas, ANALYSE ET ANALYSE NUMÉRIQUE : RAPPEL DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS, Lavoisier (2005). [11] Jacques Rappaz, Marco Picasso, INTRODUCTION A L’ANALYSE NUMÉRIQUE, Presses polytechniques et universitaires romandes (2004). [12] Nicholas J. Higham, ACCURACY AND STABILITY OF NUMERICAL ALGORITHMS, siam (1996). [13] John Hubbard, Florence Hubert, CALCUL SCIENTIFIQUE DE LA THÉORIE A LA PRATIQUE : ILLUSTRATIONS AVEC MAPLE ET MATLAB, Université de Provence, Marseille (2005). |
| Modalités d’évaluation :
Interrogation, Devoir surveillé, Travaux pratiques, Examen final |
