Analyse Numérique 1


Pré-requis :

Une bonne connaissance de l’analyse des fonctions d’une variable réelle et des bases du calcul matriciel.

 

Objectifs :

Ce cours constitue une introduction au calcul Scientifique.  Son objectif est de :

–        Présenter des méthodes numériques de base permettant de résoudre avec un ordinateur des problèmes concrets issus de l’ingénierie.

–        Identifier les difficultés liées à la résolution numérique sur ordinateur d’un problème réel.

–        Savoir développer et mettre en œuvre les méthodes de discrétisation des problèmes continus.

–        Maîtriser et savoir  mettre en œuvre les techniques de base de l’analyse numérique matricielle.

–        Savoir mettre en œuvre les techniques de base du calcul numérique.

Contenu de l’enseignement :

 

Chap. 1  Introduction à l’analyse numérique (Cours : 06h00)

1.1.  Sources d’erreurs : erreurs de modélisation,  erreurs sur les données, valeur approchée, propagation des erreurs, erreur relative et erreur absolue, arithmétique flottante,  norme IEEE-754, erreurs d’arrondis, erreur de troncature, chiffres significatifs exacts, opérations risquées.

1.2.  Conditionnement et stabilité : exemple d’instabilités numériques, conditionnement d’un problème.

1.3. Méthodes et algorithmes : méthodes exactes, méthodes approchées, méthodes itératives.

Chap. 2  Résolution d’équations non linéaires (Cours : 06h00, TD : 04h30)

2.1. Fonctions d’une variable réelle : théorèmes de localisation et séparation des racines.

2.2. Méthodes classiques : méthode de dichotomie, Méthode de la sécante, critère d’arrêt.

2.3. Méthodes itératives : méthode de point fixe, méthode de newton, ordre de convergence, critères d’arrêts.

Chap. 3  Résolution de systèmes linéaires  (Cours : 09h00, TD : 06h00)

3.1.  Méthodes directes : matrice triangulaire supérieure (ou inférieure), matrices symétriques (définitions et propriétés), méthode d’élimination de Gauss, factorisation LU (Crout, Doolittle), factorisation de Cholesky (matrice symétrique définie positive).

3.2.  Vocabulaire d’algèbre numérique : normes vectorielles, normes matricielles, conditionnement d’une matrice (définitions et propriétés), rayon spectrale, exemple de système linéaire mal conditionné.

3.3. Méthodes itératives : méthodes de Jacobi, Gauss-Seidel, relaxation, étude de la convergence des méthodes itératives, critères d’arrêt.

 

Travaux Pratiques : (09h00)

–        Prise en main de Matlab

–        Résolution des équations non-linéaires

–        Résolution des systèmes linéaires : Méthodes directes

–        Résolution des systèmes linéaires : Méthodes itératives

 

Références bibliographiques :

[1]  Jean-Pierre Demailly, ANALYSE  NUMÉRIQUE  ET  ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, EDP Sciences (2006).

[2]  Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri, MÉTHODES NUMÉRIQUES : ALGORITHMES, ANALYSE ET APPLICATIONS, Springer-Verlag (2007).

[3]  Alfio Quarteroni, Fausto Saleri, Paola Gervasio, CALCUL SCIENTIFIQUE : COURS, EXERCICES CORRIGÉS ET ILLUSTRATIONS EN MATLAB ET OCTAVE, Springer-Verlag (2010).

[4]  Won Young Yang, Wenwu Cao, Tae-Sang Chung, APPLIED NUMERICAL METHODS USING MATLAB, John Wiley end Sons (2005).

[5]  Jean-Louis Merrien, ANALYSE NUMÉRIQUE AVEC MATLAB, Dunod (2007).

[6]  André Fortin, ANALYSE NUMÉRIQUE POUR INGÉNIEURS, Presses internationales Polytechnique (2011).

[7]  William Ford, NUMERICAL LINEAR ALGEBRA WITH APPLICATIONS USING MATLAB, Elsevier Inc (2015).

[8]  Cleve B. Moler, NUMERICAL COMPUTING WITH MATLAB,  Siam (2004).

[9]  Grégoire Allaire,  Sidi Mahmoud Kaber, NUMERICAL LINEAR ALGEBRA, Springer (2008).

[10]  Luc Jolivet, Rabah Labbas, ANALYSE ET ANALYSE NUMÉRIQUE : RAPPEL DE COURS ET EXERCICES CORRIGÉS, Lavoisier (2005).

[11]  Jacques Rappaz, Marco Picasso, INTRODUCTION A L’ANALYSE NUMÉRIQUE, Presses polytechniques et universitaires romandes (2004).

[12]  Nicholas J. Higham, ACCURACY AND STABILITY OF NUMERICAL ALGORITHMS, siam (1996).

[13]  John Hubbard, Florence Hubert, CALCUL SCIENTIFIQUE DE LA THÉORIE A LA PRATIQUE : ILLUSTRATIONS AVEC MAPLE ET MATLAB, Université de Provence, Marseille (2005).

 

 

Modalités d’évaluation :

Interrogation, Devoir surveillé, Travaux pratiques, Examen final