Algèbre-2


Pré-requis :

–        Algèbre 1

 

Objectifs :

–        Consolider les acquis du 1er semestre.

–        Etudier de nouveaux concepts : somme de plusieurs sous-espaces vectoriels, sous-espaces stables, trace.

–        Passer du registre géométrique au registre matriciel et inversement.

 

Contenu de l’enseignement :

 

Chapitre 1 : Espaces vectoriels (Cours : 04h30, TD : 04h30)

–        Définition (sur  et.

–        Sous-espaces vectoriels.

–        Somme de sous-espaces.

–        Sous-espaces supplémentaires.

–        Famille libre. Famille liée. Base (finie).

Chapitre 2 : Applications linéaires (Cours : 03h00, TD : 03h00)

–        Définition (opérations).

–        Noyau et image.

–        Rang d’une application linéaire.

–        Théorème du rang.

–        Caractérisation de l’injection, de la surjection et de la bijection.

Chapitre 3 : Matrices, matrices associées et déterminants (Cours : 10h30, TD : 07h30)

–        Définition (comme tableau de nombres). Matrices particulières.

–        Opérations sur les matrices. L’espace vectoriel des matrices.

–        Déterminants (définition (ordre 2, 3 et généralisation) et propriétés).

–        Matrice inversible.

–        Ecriture matricielle d’une application linéaire.

–        Correspondance entre les opérations sur les applications linéaires et celles sur les matrices.

–        Matrice de changement de bases (matrice de passage).

–        Effet d’un changement de base sur la matrice d’une application linéaire.

Chapitre 4 : Systèmes d’équations linéaires (Cours : 03h00, TD : 03h00)

–        Définitions et interprétations.

–        Systèmes de Cramer (cas général).

 

Chapitre 5 : Réduction des matrices. (Cours : 06h00, TD : 06h00)

–        Valeurs propres.

–        Vecteurs propres.

–        Polynômes caractéristiques. Théorème de Cayley-Hamilton.

–        Caractérisation des matrices diagonalisables.

–        Caractérisation des matrices trigonalisables.

–        Applications de la réduction.

 

 


 

Références bibliographiques :

 

–        A.KUROSH : Cours d’algèbre supérieure. Edition MIR MOSCOU.

–        D.FADEEV et I.SOMINSKY : Recueil d’exercices d’algèbre supérieure. Edition MIR MOSCOU.

–        J.RIVAUD : Exercices avec solutions tome 1 VUIBERT.

–        J.RIVAUD : Exercices avec solutions tome 2 VUIBERT.

–        LEBSIR HABIB : Travaux dirigés d’algèbre générale. Dar el-houda Ain M’LILA.

–        Jean-Pierre Escofier : Toute l’algèbre de la licence. Cours et exercices corrigés. Dunod.

–        J.Lelong-Ferrand, J.M.Arnaudiès : Cours de mathématiques. Tome 1 Algèbre 3eédition. Classes préparatoires 1ercycle universitaire. Dunod.

–        A.DONEDDU : ALGEBRE ET GEOMETRIE 7 Mathématiques spéciales Premier cycle universitaire. VUIBERT.

–        COLLET Valérie : MATHS Toute la deuxième année. ellipses

 

 

Modalités d’évaluation :

Interrogation, Devoir surveillé, Examen final